If r, s, and t are positive integers and rst = 343, that is the value of t?

I. r < S < t
II. rs = 7

প্রশ্নটি একটি উপাত্ত পর্যাপ্ততা (Data Sufficiency) সমস্যা। এখানে r, s এবং t হলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (positive integers) এবং তাদের গুণফল (rst) হলো 343। আমাদের 't' এর মান নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমত, 343 এর মৌলিক উৎপাদক (prime factorization) নির্ণয় করি:

\(343 = 7 \times 49 = 7 \times 7 \times 7 = 7^3\)

যেহেতু r, s, t ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তারা 343 এর উৎপাদক হবে (যেমন 1, 7, 49, 343)।

বিবৃতি I (Statement I) মূল্যায়ন: r < s < t

যদি r, s, t ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় এবং তাদের গুণফল 343 হয়, তাহলে তাদের সম্ভাব্য সেটগুলো (ordering ছাড়া) হলো:

    
• (1, 1, 343)
    
• (1, 7, 49)
    
• (7, 7, 7)

এখন, এই সেটগুলোর মধ্যে কোনটি r < s < t শর্তটি পূরণ করে তা দেখতে হবে:

    
• (1, 1, 343): r < s শর্তটি পূরণ করে না (1 < 1 মিথ্যা)।
    
• (1, 7, 49): r < s < t শর্তটি পূরণ করে (1 < 7 < 49)। এই ক্ষেত্রে, t = 49।
    
• (7, 7, 7): r < s শর্তটি পূরণ করে না (7 < 7 মিথ্যা)।

শুধুমাত্র (1, 7, 49) সেটটি r < s < t শর্তটি পূরণ করে। তাই, বিবৃতি I থেকে আমরা নিশ্চিতভাবে বলতে পারি যে r=1, s=7 এবং t=49।

অতএব, বিবৃতি I একাই প্রশ্নটির উত্তর দেওয়ার জন্য পর্যাপ্ত।

বিবৃতি II (Statement II) মূল্যায়ন: rs = 7

যেহেতু r এবং s উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং তাদের গুণফল (rs) 7, তাই (r, s) এর সম্ভাব্য জোড়াগুলো হলো:

    
• r = 1, s = 7
    
• r = 7, s = 1

আমরা জানি rst = 343।

    
• কেস 1: r = 1, s = 7
          \((1)(7)t = 343\)
          \(7t = 343\)
          \(t = \frac{343}{7}\)
          \(t = 49\)
    
• কেস 2: r = 7, s = 1
          \((7)(1)t = 343\)
          \(7t = 343\)
          \(t = \frac{343}{7}\)
          \(t = 49\)

উভয় ক্ষেত্রেই t এর মান 49। তাই, বিবৃতি II একাই প্রশ্নটির উত্তর দেওয়ার জন্য পর্যাপ্ত।

সিদ্ধান্ত:

যেহেতু বিবৃতি I একা এবং বিবৃতি II একা উভয়ই প্রশ্নটির উত্তর দেওয়ার জন্য পর্যাপ্ত, তাই সঠিক বিকল্পটি হবে ঘ (each statement alone is sufficient to answer the question)।